原創(chuàng) 昍爸 小花生網(wǎng)

花友@昍爸（讀音：xuān）是中國(guó)科學(xué)院計(jì)算機(jī)博士、南京師范大學(xué)計(jì)算機(jī)專(zhuān)業(yè)的教授。

他在初中和高中時(shí)曾獲得全國(guó)數(shù)學(xué)奧林匹克聯(lián)賽一等獎(jiǎng)，江蘇賽區(qū)第一名，高考數(shù)學(xué)考了滿分?，F(xiàn)在家有兩位小朋友，分別是4歲和12歲。

昍爸平時(shí)特別注重孩子數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)，尤其注重培養(yǎng)孩子解決未知問(wèn)題的熱情與能力，形成別具一格的數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練體系。針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，昍爸著有《給孩子的數(shù)學(xué)思維課》一書(shū)，得到了院士、長(zhǎng)江學(xué)者、杰青等多位科學(xué)家的推薦。

今天，他結(jié)合自己學(xué)數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，分享了如何培養(yǎng)孩子數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，建立數(shù)學(xué)思維的一些經(jīng)驗(yàn)和建議。

本文由花友 @昍爸 發(fā)布于小花生寫(xiě)作計(jì)劃

我的數(shù)學(xué)啟蒙經(jīng)歷...

不少人對(duì)我的數(shù)學(xué)啟蒙經(jīng)歷和我兒子昍昍的數(shù)學(xué)成績(jī)很好奇。

我小時(shí)候讀的是正兒八經(jīng)的村小，沒(méi)有受過(guò)任何校外數(shù)學(xué)訓(xùn)練。在村小讀書(shū)時(shí)，有一年教我們數(shù)學(xué)的是代課教師。印象最深的是有一次我在課上聽(tīng)著聽(tīng)著就發(fā)現(xiàn)老師講錯(cuò)了，于是舉手指出他的錯(cuò)誤。

在爭(zhēng)論中老師很生氣，最后踢了我一腳。結(jié)果我立馬收拾書(shū)包跑回家了，整整三天都沒(méi)有上學(xué)。后來(lái)老師讓同學(xué)來(lái)勸說(shuō)……我這才重新回到了學(xué)?！，F(xiàn)在回想起來(lái)，這種敢于質(zhì)疑的精神非?？少F，敢于質(zhì)疑老師、質(zhì)疑書(shū)本。

小時(shí)候雖然沒(méi)有玩具，但我從小特別喜歡干兩件事——玩撲克和下象棋，那時(shí)經(jīng)常和小伙伴們一起打牌下棋。這兩項(xiàng)活動(dòng)對(duì)于訓(xùn)練邏輯思維和數(shù)學(xué)能力都能起到非常好的作用。

撲克牌有很多玩法，能很好地鍛煉記憶力、計(jì)算能力和數(shù)學(xué)思維。比如，24點(diǎn)可以有效地鍛煉加、減、乘、除四則運(yùn)算。而類(lèi)似于跑得快、斗地主之類(lèi)的撲克牌玩法，則蘊(yùn)含了許多數(shù)學(xué)思想和方法，包括概率思維、最優(yōu)策略、組合、博弈等。

棋類(lèi)游戲除了需要局部的最優(yōu)策略取得局部戰(zhàn)斗的勝利，更需要有全局觀，也就是數(shù)學(xué)上講的整體思維。

我覺(jué)得在我的學(xué)習(xí)過(guò)程中，沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)什么套路。那為什么最后高考數(shù)學(xué)能得滿分呢？其實(shí)這本是個(gè)假問(wèn)題。習(xí)慣于學(xué)套路才難以得滿分，而遠(yuǎn)離套路才有可能走得更遠(yuǎn)。

我沒(méi)有奧數(shù)啟蒙老師，小時(shí)候?qū)W奧數(shù)就像那些不會(huì)游泳就直接被扔進(jìn)湖里學(xué)游泳的那種。泳姿？只會(huì)狗爬，不優(yōu)美，卻非常實(shí)用。

壓箱底的解題秘訣就一條：把“題型沒(méi)見(jiàn)過(guò)”當(dāng)成一種常態(tài)，從簡(jiǎn)單開(kāi)始、從特殊開(kāi)始、從錯(cuò)誤開(kāi)始，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從特殊到一般，從錯(cuò)誤到正確。如果非要用高大上的語(yǔ)言來(lái)貼個(gè)金，那就是歸納推理和類(lèi)比推理。演繹推理是后來(lái)慢慢才習(xí)得的一種能力。

我的育兒經(jīng)驗(yàn)...

我的孩子三年級(jí)時(shí)，“有本事你陪孩子寫(xiě)作業(yè)啊”系列軟文戳中了無(wú)數(shù)父母的痛點(diǎn)，其中也包括當(dāng)時(shí)有些彷徨的我。

很多人認(rèn)為，昍爸是一個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)霸，昍自然也不會(huì)差。其實(shí)不然。事實(shí)上，輔導(dǎo)孩子的路充滿曲折，其難度遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)我自己學(xué)習(xí)的難度。

下面這些是三年級(jí)昍的一些測(cè)驗(yàn)成績(jī)。有些朋友看到這樣的過(guò)山車(chē)似的分?jǐn)?shù)，估計(jì)很難沉得住氣。

不學(xué)套路、不搞題海，這在當(dāng)前的社會(huì)洪流中可以算是一種異類(lèi)。一路堅(jiān)持下來(lái)，其中的酸甜苦辣只有自己才能體會(huì)。

現(xiàn)在看來(lái)，這條路并沒(méi)有走錯(cuò)。孩子目前對(duì)數(shù)學(xué)還有比較濃厚的興趣，更難得的是，孩子還保留著自己獨(dú)特的思維棱角，沒(méi)有過(guò)早地被抹平，經(jīng)常會(huì)冒出一些與標(biāo)準(zhǔn)答案不同的思路。

其實(shí)，小學(xué)中低年級(jí)的孩子，成績(jī)有起伏是很平常的事。此時(shí)，父母?jìng)兡苷_面對(duì)，并采取適當(dāng)?shù)拇胧╋@得至關(guān)重要。

作為一個(gè)在一線輔導(dǎo)孩子的爸爸，我也總結(jié)了一點(diǎn)心得，跟大家一起分享。

（1）父母不要成為解決問(wèn)題的“庸醫(yī)”

孩子在學(xué)習(xí)過(guò)程中碰到的各種問(wèn)題最后統(tǒng)統(tǒng)表現(xiàn)為考試分?jǐn)?shù)差這一癥狀。此時(shí)，大家要學(xué)會(huì)對(duì)癥下藥，切莫亂開(kāi)藥方，成為一名“庸醫(yī)”。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上，考試成績(jī)差這一癥狀的原因各種各樣：語(yǔ)文理解能力欠缺，粗心（包括看錯(cuò)題、看漏條件、計(jì)算錯(cuò)誤、答案謄寫(xiě)錯(cuò)誤等），列式不合理，最后才是真正不會(huì)做。

但消除病因的手段卻相去甚遠(yuǎn)。不少父母在孩子學(xué)習(xí)出問(wèn)題后都?xì)w咎于訓(xùn)練量不夠，希望”題海戰(zhàn)術(shù)"這一藥方能包治百病，但有時(shí)恰恰會(huì)適得其反。

碰到問(wèn)題，很多父母的做法就是給孩子做加法，但有時(shí)候恰恰適得相反。這時(shí)，不妨嘗試做做減法。有段時(shí)間，我就主動(dòng)和老師溝通，請(qǐng)求老師允許孩子少做作業(yè)。給孩子做減法，需要我們做父母的有足夠的膽略和勇氣。

（2）爸爸們要更加用于擔(dān)當(dāng)教育孩子的責(zé)任

當(dāng)孩子學(xué)習(xí)面臨問(wèn)題時(shí)，理性的爸爸們普遍要比感性的媽媽們更淡定。然而，現(xiàn)在的家庭中更多地是媽媽陪伴和教育孩子。

于是，我們看到了越來(lái)越多的淑女完成了向河?xùn)|獅的轉(zhuǎn)變。

不少媽媽也坦言，讓爸爸擔(dān)起責(zé)任很難。但一般而言，爸爸們的理性更有助于診斷孩子的問(wèn)題。大部分時(shí)候，爸爸是因?yàn)樘Χ鵁o(wú)法承擔(dān)重任，但也有部分是因?yàn)橄胨﹀伣o隊(duì)友，自己輕松。

即便是爸爸擔(dān)當(dāng)了這一重任，也面臨著家庭和學(xué)校多方面的壓力，堅(jiān)持正確比滑向錯(cuò)誤要難的多，朋友圈里因?yàn)轫敳蛔⊥迡尩膲毫Ρ黄茸尯⒆尤ド细鞣N輔導(dǎo)班的例子數(shù)不勝數(shù)。

（3）不要只重視做錯(cuò)的題，在做對(duì)的題上也要花功夫

大家都知道用錯(cuò)題本去強(qiáng)化錯(cuò)題的訂正，但很少有人會(huì)對(duì)孩子做對(duì)的題給予額外的關(guān)注。我的做法則有別于大家：無(wú)論是正確的還是錯(cuò)誤的題，只要有價(jià)值，都要給予同等的重視。

即便是做對(duì)的題，也要引導(dǎo)他從多角度思考，并比較各種方法的優(yōu)劣，并通過(guò)改變前提達(dá)到舉一反三的效果。有時(shí)，甚至要鼓勵(lì)標(biāo)新立異，發(fā)散孩子的思維。

（4）成為孩子興趣的放大器和助推器

大家可能經(jīng)常會(huì)發(fā)現(xiàn)孩子關(guān)注或沉迷與一些大人眼中與學(xué)習(xí)成績(jī)無(wú)關(guān)的”不務(wù)正業(yè)“的事情。此時(shí)，如果粗暴地勒令其停止將會(huì)是一種糟糕的做法。低年級(jí)的孩子能夠獨(dú)立專(zhuān)研一件事情難能可貴。

你會(huì)發(fā)現(xiàn)，由好奇心和興趣驅(qū)動(dòng)的學(xué)習(xí)專(zhuān)研能讓孩子在短時(shí)間內(nèi)迅速了解一個(gè)領(lǐng)域，甚至成為在這一方面勝過(guò)大人的“小專(zhuān)家”。這一快速學(xué)習(xí)能力恰恰是孩子日后所需要的。父母應(yīng)該成為孩子興趣的放大器和助推器，而不是滅火器。

昍一直都對(duì)電腦拆解和組裝非常感興趣，我發(fā)現(xiàn)以后，專(zhuān)門(mén)給了他兩臺(tái)電腦用于拆解。有一次，他悶在房間搗鼓了半天，然后就給了我們下面的驚喜。

這個(gè)桌上擺著的“卡通電腦”，是孩子把舊電腦拆了，拿出電腦內(nèi)核和顯示器重新組裝成的新電腦，并且加了一層樂(lè)高外殼。

而且，他還給這臺(tái)電腦外接了一個(gè)自己網(wǎng)購(gòu)的固態(tài)硬盤(pán)。因此，“卡通電腦”并不卡通，它可以像正常電腦一樣啟動(dòng)。

（5）尊重孩子的思維方式

一名優(yōu)秀的教師或父母的一項(xiàng)素質(zhì)是能快速洞察和理解孩子的思維方式，而不死強(qiáng)迫讓孩子接受自己的思維。

即便是錯(cuò)的，也要允許孩子充分表達(dá)自己的想法，并從中洞悉孩子的邏輯。列式錯(cuò)誤是需要我們予以充分重視的，這說(shuō)明孩子對(duì)問(wèn)題有不同的理解，要充分允許孩子表達(dá)自己的理解，并分析他理解里正確的和錯(cuò)誤的成分。

我的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)...

我自己總結(jié)了幾點(diǎn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，應(yīng)該會(huì)對(duì)大家有用處。

（1）重視基本概念

學(xué)好數(shù)學(xué)，清晰地理解基本概念非常重要。其實(shí)，基本概念的重要性不僅是在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，在整個(gè)科學(xué)領(lǐng)域都一樣重要。

歐幾里得的平面幾何奠定了西方公理化方法的基礎(chǔ)。公理化方法是“從某些基本概念和基本命題出發(fā)，根據(jù)特定的演繹規(guī)則，推導(dǎo)一系列的定理，從而構(gòu)成一個(gè)演繹系統(tǒng)的方法。

歐氏幾何的數(shù)學(xué)大廈就是由基本概念（包括基本概念、基本關(guān)系）、公理、演繹規(guī)則和定理構(gòu)成。其中，基本概念居于重要的位置。

很多數(shù)學(xué)問(wèn)題其實(shí)最終考察的是對(duì)基本概念的理解深度。但有些人卻在基本概念和定義都不清楚的情況下去追求公式記憶和快速解題，這其實(shí)是本末倒置。

說(shuō)到這里，我舉幾個(gè)例子。

提到圓，很多人都會(huì)想到圓的周長(zhǎng)和面積公式，但往往忽略了一個(gè)最重要的性質(zhì)，就是圓上的任何一點(diǎn)到圓心的距離都相等。

再比如高中時(shí)學(xué)的橢圓和雙曲線，很多人都側(cè)重于去記住橢圓和雙曲線的代數(shù)方程。但除了方程，這些曲線還有它們的幾何意義。許多時(shí)候，這些幾何含義都可以成為解決問(wèn)題的利器。

（2）重視結(jié)論背后的原理

我自己學(xué)數(shù)學(xué)是很少背公式和結(jié)論的。自己不理解的結(jié)論很難記住，也容易記錯(cuò)。

比如小學(xué)低年級(jí)的植樹(shù)問(wèn)題、乘法分配律，我肯定會(huì)通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方法去加深理解。

我記得某個(gè)培訓(xùn)機(jī)構(gòu)為了讓孩子記住乘法分配律，居然用了一個(gè)“警察抓小偷”的故事來(lái)輔助記憶。但是如果用下面的數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)輔助理解乘法分配律，那想忘記都難。

數(shù)形結(jié)合理解8×(6+4)=8×6+8×4

除了上面的簡(jiǎn)單例子，包括等差數(shù)列求和、等比數(shù)列求和、以及大部分三角公式，我也都不會(huì)去記公式，而是重視這些公式的推導(dǎo)過(guò)程。這樣習(xí)得的知識(shí)，才能記得牢、用的活。

但現(xiàn)在的很多機(jī)構(gòu)教學(xué)卻與我的方法截然相反，小學(xué)二年級(jí)就讓孩子去記等差數(shù)列的球和公式和倍差倍問(wèn)題的公式等。

例如，之前的一位好友在朋友圈曬了某培訓(xùn)機(jī)構(gòu)的講義，我截取了一段，如下：

讓孩子多背背詩(shī)詞，尚有可能會(huì)成為下一個(gè)武亦姝，但這樣學(xué)數(shù)學(xué)絕不可能成為下一個(gè)丘成桐。

（3）有一股鉆勁

這一點(diǎn)可能是不少孩子在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)過(guò)程中所欠缺的。特別是現(xiàn)在很多培訓(xùn)講究套路，不重視探索的過(guò)程，最后純粹變成了比誰(shuí)見(jiàn)過(guò)的套路多。孩子一旦碰到?jīng)]有見(jiàn)過(guò)的問(wèn)題，就容易產(chǎn)生畏難情緒，容易放棄。

學(xué)好數(shù)學(xué)，必須要有一股挑戰(zhàn)難題的韌勁。如果不經(jīng)常花一兩小時(shí)或更長(zhǎng)時(shí)間去“啃”一道難題、消化難題，那數(shù)學(xué)是很難學(xué)好的。即便一段時(shí)間考了高分，那也不值得沾沾自喜，這種高分往往是曇花一現(xiàn)，難以持久。

小學(xué)的數(shù)學(xué)或許能通過(guò)訓(xùn)練記憶的方式提高分?jǐn)?shù)，但到了中學(xué)以后，純靠記套路的做法就越來(lái)越難收效了。

《原本》的作者歐幾里得曾說(shuō)過(guò)“幾何無(wú)王者之道”，意思是幾何并沒(méi)有給王族的人單獨(dú)留有VIP通道。

這一點(diǎn)我非常贊同。包括幾何在內(nèi)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)沒(méi)有捷徑可循，一切宣稱(chēng)可以快速提分的，往往都是飲鴆止渴。數(shù)學(xué)問(wèn)題可以千變?nèi)f化，我們需要的是修煉好內(nèi)功，這樣才能以不變應(yīng)萬(wàn)變。

但現(xiàn)在有些問(wèn)題很?chē)?yán)重，我所在的南京，小升初全民沖南外。沖外班培訓(xùn)成為一個(gè)巨大的產(chǎn)業(yè)，之前跟一個(gè)沖外學(xué)生的爸媽交流，沖外培訓(xùn)班要求2分鐘倒計(jì)時(shí)做一道題，直到看到問(wèn)題就可以條件反射報(bào)出答案為止，最終很快地毀掉了一個(gè)孩子好不容易建立起來(lái)的深度思考能力。這，不是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的正確途徑。

（4）形成了一套自己的解題模式

我自己不推薦海量刷題，但并不是說(shuō)不用做題，我強(qiáng)調(diào)的是解題的方法。

我自己經(jīng)過(guò)這么多年的實(shí)踐，形成了一套自己的解題模式，能夠最大化解題的效果。具體地，可以將解題的整個(gè)過(guò)程分為應(yīng)試階段和提升階段兩部分

應(yīng)試階段分為五步：

第一，仔細(xì)讀題審題。這個(gè)階段很重要，千萬(wàn)不要圖快，最好讀上兩遍，揣摩清楚出題人的意圖。

第二，觀察聯(lián)想。觀察、識(shí)別問(wèn)題的結(jié)構(gòu)和模式，并與自己知識(shí)結(jié)構(gòu)中的已知問(wèn)題進(jìn)行分析、對(duì)比。

第三，探索和求解。在這個(gè)過(guò)程中，很多時(shí)候都是通過(guò)類(lèi)比、歸納，尋找解題的思路。在小學(xué)階段，這個(gè)過(guò)程對(duì)于提升孩子的數(shù)學(xué)能力非常重要，類(lèi)比和歸納是人類(lèi)解決未知問(wèn)題的法寶。

第四，永遠(yuǎn)不要忘了問(wèn)“是否是唯一解？”，這一點(diǎn)也很重要，非?？疾焖季S的完備性。一道題10分，如果有2個(gè)答案，你只答了1個(gè)，那就只得5分。

第五，記得驗(yàn)算。驗(yàn)算并不是簡(jiǎn)單地重新做一遍，而是一門(mén)學(xué)問(wèn)。關(guān)于驗(yàn)算的內(nèi)容，完全可以寫(xiě)上一整篇文章。

我這里只講幾點(diǎn)：首先，驗(yàn)算方法千萬(wàn)條，讀對(duì)題目第一條，確保沒(méi)有讀錯(cuò)題和會(huì)錯(cuò)意是最重要的，其次，要即時(shí)驗(yàn)算、步步為營(yíng)，最后，驗(yàn)算方法多種多樣，要選擇最合適的方法，包括代入法、殊途同歸法、特殊值法、實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證法、估算法等。

如果是應(yīng)試，那么到這兒解題就結(jié)束了。但作為平時(shí)的練習(xí)，到這里還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。后面的思考才是對(duì)提升數(shù)學(xué)解題能力作用最大的。就好比健身，當(dāng)你開(kāi)始出汗的時(shí)候，后面一段時(shí)間的堅(jiān)持才是鍛煉效果最好的。

那么還需要做什么呢？

第六，需要拷問(wèn)自己：所采用的方法是否可以擴(kuò)展？比如在n=10的時(shí)候可以用，但到n=1000的時(shí)候還能不能用？

第七，永遠(yuǎn)要問(wèn)自己，是否有其它解決方法？努力做到一題多解，并學(xué)會(huì)分析每種方法的好壞和適用條件。

第八，變換角色，把自己當(dāng)成出題人。想一想如果自己來(lái)出題，可以怎么改變出題條件，真正做到舉一反三。

如果平時(shí)能夠做到這些，那我相信數(shù)學(xué)解題能力想不提升都難。

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能培養(yǎng)什么？

雖說(shuō)現(xiàn)在很多學(xué)科都強(qiáng)調(diào)培養(yǎng)孩子的思維能力，但無(wú)疑，數(shù)學(xué)依然是最好的思維體操。

通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，可以培養(yǎng)孩子的抽象能力、推理能力和解決問(wèn)題的能力，并鍛煉公理化系統(tǒng)方法。

具體地，我覺(jué)得可以培養(yǎng)孩子的12大能力和6大優(yōu)秀的品質(zhì)。這些能力和品質(zhì)，對(duì)孩子日后的工作和生活具有非常積極的意義。

一些常見(jiàn)問(wèn)題

第一：孩子要不要跟風(fēng)學(xué)奧數(shù)？

奧數(shù)本身被市場(chǎng)妖魔化了。其實(shí)奧數(shù)本身也是數(shù)學(xué)，只是稍微難一點(diǎn)的數(shù)學(xué)。就像打乒乓球，沒(méi)有人說(shuō)要不要學(xué)“奧乒”。只要教的方法得當(dāng)，以啟發(fā)孩子思考為主，那么孩子在學(xué)習(xí)的過(guò)程中總是會(huì)受益。但如果純粹是套路的教法，那不如不學(xué)。

除非是像陶哲軒那樣具有天賦的孩子，一般不建議太提前學(xué)。因?yàn)榇蟛糠趾⒆拥某橄笏季S能力在10歲之前還沒(méi)有得到發(fā)展，提前學(xué)只會(huì)起到事倍功半的效果，甚至可能會(huì)讓孩子產(chǎn)生厭學(xué)情緒。

10歲以后，大部分孩子的抽象思維開(kāi)始逐步形成，此時(shí)如果學(xué)有余力，那么是可以開(kāi)始了。12歲以后，你學(xué)微積分也沒(méi)人管。

第二：數(shù)學(xué)與計(jì)算什么關(guān)系？

我曾經(jīng)問(wèn)過(guò)不少孩子兩個(gè)問(wèn)題。第一個(gè)是數(shù)學(xué)有趣嗎？第二個(gè)是數(shù)學(xué)有用嗎？對(duì)于第一個(gè)問(wèn)題，很多孩子覺(jué)得做好玩的數(shù)學(xué)問(wèn)題會(huì)感覺(jué)有趣，做純粹的計(jì)算會(huì)感覺(jué)枯燥乏味。而對(duì)第二個(gè)問(wèn)題，很多孩子的回答是在購(gòu)物結(jié)算時(shí)有用。這就出現(xiàn)了一個(gè)問(wèn)題，也就是孩子認(rèn)為有用的數(shù)學(xué)恰恰是他們認(rèn)為枯燥乏味的計(jì)算。

但事實(shí)上，數(shù)學(xué)≠計(jì)算。計(jì)算只是數(shù)學(xué)的冰山一角。所以，我們需要通過(guò)生活中的案例，拓展孩子對(duì)數(shù)學(xué)外延的認(rèn)知。

華羅庚先生曾說(shuō)：宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無(wú)處不用數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)源于生活、高于生活、又回歸生活。生活中的數(shù)學(xué)對(duì)激發(fā)孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣有特殊的優(yōu)勢(shì)。生活中的數(shù)學(xué)看得見(jiàn)、摸得著，更能引起孩子興趣，解決實(shí)際問(wèn)題更容易能讓孩子更容易獲得成就感。

原標(biāo)題：《奧賽冠軍、計(jì)算機(jī)教授老爸：“雞娃數(shù)學(xué)，我堅(jiān)持不學(xué)套路不搞題海！”》

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