有一種罕見而有趣的歷史觀點(diǎn)認(rèn)為，

世界被一個(gè)神秘的數(shù)學(xué)分支徹底改變了。

一個(gè)最初與形狀相關(guān)的理論，

如何重塑了人類文明？

文 | 史蒂夫·斯托加茨

來源 | 《微積分的力量》

01

科學(xué)或許是唯一的神

上世紀(jì)60年代，小說家赫爾曼·沃克（Herman Wouk）正在為他計(jì)劃中的巨著《戰(zhàn)爭(zhēng)風(fēng)云》做調(diào)研，他去加州理工學(xué)院采訪了參與過原子彈研發(fā)的物理學(xué)家，理查德·費(fèi)曼（Richard Phillips Feynman）就是其中之一。采訪結(jié)束臨別之際，費(fèi)曼問沃克是否了解微積分。沃克坦承他并不了解，于是費(fèi)曼說道：

“你最好學(xué)學(xué)微積分，它是上帝的語(yǔ)言。”

理查德·費(fèi)曼（左）與赫爾曼·沃克

宇宙是高度數(shù)學(xué)化的， 但原因尚無(wú)人知曉。這或許是包含我們?cè)趦?nèi)的宇宙的唯一可行的存在方式，因?yàn)榉菙?shù)學(xué)化的宇宙無(wú)法庇護(hù)能夠提出這個(gè)問題的智慧生命。無(wú)論如何，一個(gè)神秘且不可思議的事實(shí)是，我們的宇宙遵循的自然律最終總能用微積分的語(yǔ)言和微分方程的形式表達(dá)出來。我敢打賭，如果有什么東西稱得上宇宙的奧秘，那么非微積分莫屬。

人類在不經(jīng)意間發(fā)現(xiàn)了這種奇怪的語(yǔ)言（先是在幾何學(xué)的隱秘角落里，后來是在宇宙密碼中），然后學(xué)會(huì)熟練地運(yùn)用它，并破譯了它的習(xí)語(yǔ)和微妙之處，最終利用它的預(yù)測(cè)能力去重構(gòu)世界。

這是本書的中心論點(diǎn)。如果這個(gè)論點(diǎn)是正確的，那么它意味著關(guān)于生命、宇宙和萬(wàn)物的終極問題的答案并不是42，為此我要向道格拉斯·亞當(dāng)斯和《銀河系漫游指南》的粉絲致歉。但“深思”（《銀河系漫游指南》中的一臺(tái)超級(jí)計(jì)算機(jī)）的解題思路是正確的，因?yàn)橛钪娴膴W秘確實(shí)是一系列數(shù)學(xué)問題。

《銀河系漫游指南》劇照，“深思”給出宇宙的終極答案：42（圖源duitang.com）

費(fèi)曼的那句妙語(yǔ)“微積分是上帝的語(yǔ)言”，引出了許多深?yuàn)W的問題。我之所以寫作本書，就是為了讓每個(gè)人都能了解關(guān)于微積分的最精彩的思想和故事。我們不必為了理解微積分的重要性而學(xué)習(xí)如何做運(yùn)算，就像我們不必為了享用美食而學(xué)習(xí)如何做佳肴一樣。

02

無(wú)窮原則

為了幫助你理解我們討論的方向，我先說一下什么是微積分。簡(jiǎn)言之，微積分就是想讓復(fù)雜的難題簡(jiǎn)單化，它十分癡迷于簡(jiǎn)單性。這可能會(huì)讓你感到驚訝，因?yàn)槲⒎e分向來以復(fù)雜性著稱。

微積分成功的方法是，把復(fù)雜的問題分解成多個(gè)更簡(jiǎn)單的部分。當(dāng)然，這種策略并不是微積分獨(dú)有的。微積分真正不同凡響和標(biāo)新立異的做法在于，它把這種分而治之的策略發(fā)揮到了極致，也就是無(wú)窮的程度。它不是把一個(gè)大問題切分成有限的幾小塊，而是無(wú)休無(wú)止地切分下去，直到這個(gè)問題被切分成無(wú)窮多個(gè)最微小并且可以想象的部分。

因此，微積分可分為兩個(gè)步驟：切分和重組。用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)來說，切分過程叫作微分學(xué)。重組過程叫作積分學(xué)。

現(xiàn)在，我們終于可以闡明這個(gè)偉大的理念了。

無(wú)窮原則

為了探究任意一個(gè)連續(xù)的形狀、物體、運(yùn)動(dòng)、過程或現(xiàn)象（不管它看起來有多么狂野和復(fù)雜），把它重新想象成由無(wú)窮多個(gè)簡(jiǎn)單部分組成的事物，分析這些部分，然后把結(jié)果加在一起， 就能理解最初的那個(gè)整體。

而這一切的難點(diǎn)就在于，我們需要和無(wú)窮打交道，但無(wú)窮是微積分中最令人頭疼的問題，它往往會(huì)掙脫主人的控制，不可避免地會(huì)攻擊創(chuàng)造出它們的人。

微積分的創(chuàng)造者意識(shí)到了這種危險(xiǎn)，但仍然發(fā)現(xiàn)無(wú)窮的魅力不可抗拒。當(dāng)然，它偶爾也會(huì)發(fā)狂，帶來悖論、困惑和哲學(xué)災(zāi)難。不過，數(shù)學(xué)家每次都能成功地征服無(wú)窮怪物，理順?biāo)男袨椋屗鼗卣?。駕馭無(wú)窮并利用它的力量，這種欲望是一條貫穿微積分的2500年歷史的敘事線索。

03

曲線、運(yùn)動(dòng)和變化

無(wú)窮原則圍繞著方法論主題構(gòu)建了微積分的故事。但微積分既與方法論有關(guān)，也與謎題有關(guān)。最重要的是，有三個(gè)謎題促進(jìn)了微積分的發(fā)展，它們分別是曲線之謎、運(yùn)動(dòng)之謎和變化之謎。

一切都始于曲線之謎。

沒有人能算出一個(gè)球體的表面積或體積有多大，即使是求圓的周長(zhǎng)和面積，在古代也是一個(gè)難題。人們既不知道該從何處著手，也找不到便于理解的平直部件?？傊袕澢臇|西都難以捉摸。

微積分就是在這樣的背景下誕生的，它萌生于幾何學(xué)家對(duì)圓度的好奇心和挫敗感。圓、球體和其他曲線形狀是他們那個(gè)時(shí)代的“喜馬拉雅山脈”，它們激發(fā)了人類的冒險(xiǎn)精神。就像攀登珠穆朗瑪峰的探險(xiǎn)家一樣， 幾何學(xué)家之所以想解決曲線問題，是因?yàn)樗鼈兙驮谀抢铩?/p>

有些幾何學(xué)家堅(jiān)持認(rèn)為“曲線事實(shí)上是由平直部件構(gòu)成的”，這種觀點(diǎn)帶來了突破性進(jìn)展。盡管這不是事實(shí)，但我們可以假裝它是真的。那么，唯一的問題就在于，這些部件必須無(wú)窮小，而且數(shù)量無(wú)窮多。通過這個(gè)巧妙的構(gòu)思，積分學(xué)誕生了，這是人們對(duì)無(wú)窮原則的最早應(yīng)用。多個(gè)世紀(jì)以來，世界上最偉大的數(shù)學(xué)家都在努力探究這個(gè)難題的解決辦法。不過，通過共同的努力（有時(shí)還伴有激烈的競(jìng)爭(zhēng)），他們終于在破解曲線之謎上取得了進(jìn)展。

用微積分原理繪制的需下頜手術(shù)的患者面部模型（左二）和預(yù)測(cè)術(shù)后效果模型（右二）

之后，人們開始解決第二大謎題，也就是地球上和太陽(yáng)系中的運(yùn)動(dòng)之謎。

我們將在本書的中間章節(jié)里看到，微積分的下一次重大進(jìn)步源于對(duì)運(yùn)動(dòng)之謎的探索。就像在破解曲線之謎時(shí)一樣，無(wú)窮原則再次挺身而出。這一次，我們的創(chuàng)造性假設(shè)是，速度不停變化的運(yùn)動(dòng)是由無(wú)窮多個(gè)無(wú)限短暫的勻速運(yùn)動(dòng)組成的。

17 世紀(jì)中期，微積分的發(fā)展時(shí)斷時(shí)續(xù)，非常緩慢，代數(shù)一部分?jǐn)?shù)學(xué)家當(dāng)作笑話，漸漸失去話語(yǔ)權(quán)。

這時(shí)有一個(gè)孩子在圣誕節(jié)那天出生了——早產(chǎn)兒，沒有父親，3 歲時(shí)又被母親遺棄了。想法消沉的孤寂男孩就這樣長(zhǎng)成了沉默寡言、猜疑心重的年輕人，不過，名叫艾薩克·牛頓的他日后會(huì)在世界上留下空前絕后的印記。

艾薩克·牛頓

他先是通過把代數(shù)的符號(hào)與無(wú)窮的力量結(jié)合起來，他找到了一種方法，可以把任何曲線都表示成無(wú)窮多條簡(jiǎn)單曲線（用變量x 的冪來描述，比如x2、x3、x4 等）的和。僅用這些“食材”，通過加一點(diǎn)兒x、少許x2 和滿滿一湯匙x3，他就可以“烹飪”出他想要的任何曲線。有了它，牛頓就能解決關(guān)于形狀或運(yùn)動(dòng)的任何問題了。

之后，他破解了宇宙密碼。他僅用幾個(gè)微分方程（他的運(yùn)動(dòng)和萬(wàn)有引力定律），就能解釋包括炮彈的飛行軌跡和行星的運(yùn)行軌道在內(nèi)的所有現(xiàn)象。牛頓的驚人的“世界體系”統(tǒng)一了天和地，掀起了啟蒙運(yùn)動(dòng)，改變了西方文化， 對(duì)歐洲的哲學(xué)家和詩(shī)人產(chǎn)生了巨大的影響。他甚至影響了托馬斯·杰斐遜和《獨(dú)立宣言》的起草。

牛頓手稿

在破解了曲線之謎和運(yùn)動(dòng)之謎后，微積分轉(zhuǎn)向了它的第三個(gè)由來已久的謎題——變化之謎。

在執(zhí)行這項(xiàng)宏大計(jì)劃的過程中，微積分一直在與其他科技領(lǐng)域合作，為實(shí)現(xiàn)世界的現(xiàn)代化做出了貢獻(xiàn)。1917 年，阿爾伯特·愛因斯坦將微積分應(yīng)用于一個(gè)簡(jiǎn)單的原子躍遷模型，從而預(yù)測(cè)出一種被稱為受激發(fā)射的神奇效應(yīng)。幾十年后，這個(gè)預(yù)測(cè)被證明是正確的。第一臺(tái)可運(yùn)行的激光器在20世紀(jì)60年代初建成，從那時(shí)起，光盤播放機(jī)、激光制導(dǎo)武器、超市的條形碼掃描儀和醫(yī)用激光器等設(shè)備都離不開激光。

變化定律在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域并不像在物理學(xué)領(lǐng)域那樣為人熟知。然而，即便被應(yīng)用于基本模型，微積分也能對(duì)挽救生命做出貢獻(xiàn)。比如，在微積分提供的對(duì)病毒繁殖速度的新認(rèn)識(shí)的幫助下，HIV感染已經(jīng)從幾乎被判了死刑的疾病轉(zhuǎn)變?yōu)榭煽刂频穆约膊　?/p>

不可否認(rèn)的是，我們身處一個(gè)不斷變化的世界之中，它的某些方面超出了無(wú)窮原則固有的近似性和出自主觀愿望的想法，比如量子力學(xué)不再遵循牛頓運(yùn)動(dòng)定律。可即使在牛頓的物理學(xué)行不通的亞原子領(lǐng)域，他的微積分也依然有效。事實(shí)上，它的表現(xiàn)相當(dāng)出色。

現(xiàn)在是時(shí)候去更深入地了解宇宙的語(yǔ)言了，當(dāng)然，我們這趟旅程的起點(diǎn)是“無(wú)窮”站。

作者簡(jiǎn)介

史蒂夫·斯托加茨（Steven Strogatz）

?康奈爾大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系教授，研究文章主要發(fā)表在《自然》《科學(xué)》《科學(xué)美國(guó)人》《新聞周刊》《紐約客》《發(fā)現(xiàn)》《美國(guó)科學(xué)家》等主流媒體上。

?在研究、教學(xué)和公共演講方面獲得多個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，包括：美國(guó)國(guó)家科學(xué)基金會(huì)頒發(fā)的“美國(guó)總統(tǒng)獎(jiǎng)”，麻省理工學(xué)院最高教學(xué)獎(jiǎng)，向大眾傳播數(shù)學(xué)知識(shí)終身成就獎(jiǎng)。于2012年當(dāng)選美國(guó)文理科學(xué)院院士，當(dāng)選為其院士一直被視為美國(guó)的最高榮譽(yù)之一。

?著有《x的奇幻之旅》，該書獲得2014年度的“歐拉圖書獎(jiǎng)”。TED演講者，也是美國(guó)科普電臺(tái)、《科學(xué)星期五》的主要嘉賓。

圖書評(píng)價(jià)

如果微積分是宇宙的語(yǔ)言，史蒂夫·斯托加茨就是荷馬。憑借著他的激情、洞察力和質(zhì)樸，斯托加茨解釋了人類諸多偉大的智力成果背后的深刻思想。這本書讀起來令人心生愉悅。

——丹尼爾·吉爾伯特

《哈佛幸福課》作者

高能預(yù)警：這是一本“危險(xiǎn)”的書。它會(huì)讓你愛上數(shù)學(xué)，甚至有可能把你變成一位數(shù)學(xué)家。

——納西姆·尼古拉斯·塔勒布

《黑天鵝》作者

斯托加茨是了不起的數(shù)學(xué)家，也是了不起的科學(xué)作家。他出色地將深?yuàn)W的微積分知識(shí)打造成一部史詩(shī)般的大片，深入淺出地講述了微積分如何改變了世界的故事，當(dāng)然，這個(gè)故事還在繼續(xù)。

——亞歷克斯·貝洛斯

《迷人的邏輯題》作者