【編者按】10月15日，2022年北京大學(xué)數(shù)學(xué)英才班舉行導(dǎo)師見面會，英才班導(dǎo)師代表袁新意教授發(fā)言。袁新意教授在演講中表示，學(xué)得太多、選課太多并不是一個好現(xiàn)象?！翱吹接行┩瑢W(xué)學(xué)得比較快，你也不要慌張，聞道有先后，人這一生是很長的。”而“數(shù)學(xué)的所有內(nèi)容都來自于定義，當(dāng)你足夠熟悉定義，最終會變成你的直覺”。對數(shù)學(xué)有著深厚興趣、在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有突出特長且有志于從事數(shù)學(xué)研究的98名同學(xué)加入了北大本屆數(shù)學(xué)英才班。以下是袁新意教授演講的全文：

2022年北京大學(xué)數(shù)學(xué)英才班導(dǎo)師袁新意教授

各位領(lǐng)導(dǎo)，各位老師，各位同學(xué)：

大家好！我很榮幸作為導(dǎo)師代表在這里發(fā)言。我發(fā)言的主要聽眾是同學(xué)們，因?yàn)槟銈兪墙裉鞎h的主角。我想給同學(xué)們提三點(diǎn)建議，每一個建議有一個關(guān)鍵詞。這些建議是我20年前在這里學(xué)習(xí)時所經(jīng)歷過的，有方法或思想上的掙扎，同時也是一些經(jīng)驗(yàn)的分享。

第一個關(guān)鍵詞是理想，也就是將來你想要干什么。英才班的宗旨是希望培養(yǎng)數(shù)學(xué)家或者與數(shù)學(xué)相關(guān)的研究人才，但我認(rèn)為即使你將來從事的不是數(shù)學(xué)研究，是與數(shù)學(xué)相關(guān)的杰出工作，甚至是跟數(shù)學(xué)無關(guān)的杰出工作，那你依然非常成功，那也依然是英才班的成功。

現(xiàn)在的你們或許還沒有想過未來要做什么，但當(dāng)你在大二或大三的時候，就會去思考：我到底要不要做數(shù)學(xué)？要不要做純數(shù)學(xué)？要不要做應(yīng)用數(shù)學(xué)？也會思考是否要轉(zhuǎn)行投身計(jì)算機(jī)、經(jīng)濟(jì)、金融或者其他的行業(yè)。這是大部分人的必經(jīng)之路，我也有過這樣的掙扎。如果你碰到了這個階段，請不要慌張。可以跟同學(xué)交流，跟學(xué)長交流，也可以找老師交流。

對此，我的建議是：如果你不知道將來要做什么，沒法樹立一個十年左右的長遠(yuǎn)目標(biāo)，那么你可以樹立一個短期的目標(biāo)。比如：未來兩年你要干什么？畢業(yè)的時候你想干什么？是去業(yè)界工作，出國深造，還是留在國內(nèi)讀研？如果讀研，那么讀哪個方向的研究生？這種短期目標(biāo)是比較容易樹立的，你的心里也比較容易清楚自己的短期目標(biāo)是什么。樹立好短期目標(biāo)之后，就為短期目標(biāo)而努力，這樣就不會荒廢時光。如果你非常迷茫，不知道要干什么，就很有可能荒廢了。大學(xué)4年稍縱即逝，如果因?yàn)槊悦?dǎo)致整日玩游戲浪費(fèi)時間，等到保研或是申請出國時發(fā)現(xiàn)自己的GPA很糟糕，那是非?？上У?。所以，樹立短期目標(biāo)并為之奮斗非常重要，等到這個短期目標(biāo)達(dá)成時再樹立下一個短期目標(biāo)，直到你清楚自己的長期目標(biāo)是什么。

第二個關(guān)鍵詞是踏實(shí)，也就是學(xué)習(xí)上的踏實(shí)。北大數(shù)院有著優(yōu)良的學(xué)風(fēng)，老師們倍感欣慰，大家在學(xué)習(xí)方面積極向上，甚至有點(diǎn)內(nèi)卷。但是學(xué)得太多、選課太多并不是一個好現(xiàn)象。低年級的同學(xué)選高年級課程和研究生課程；高年級的同學(xué)選研究生課程和前沿討論班。這樣選的東西太多，成績單上的課程太多，甚至還有很多不在成績單上的課程。結(jié)果導(dǎo)致精力和時間不足，每一門課都沒學(xué)好。連一些基礎(chǔ)性的課程都沒有學(xué)好，更別說那些高級課程了。對此，我給大家建議是，選課時要量力而為。我們會贊成你在低年級時選高年級的課，但是你需要自己確定自己是否真正把低年級的內(nèi)容弄懂了，是否把高級課程的先修課程內(nèi)化于心了，這樣你們才能選高級課程。上臺階需要一步一步地走，無論快慢，都得一步一步地攀登。

數(shù)院的同學(xué)們都非常有天賦，但是不管怎樣，總是有些人比其他人向前邁得更早，邁得更快。每個年級都有幾個明星學(xué)生，他們有能力，也有自己的計(jì)劃，學(xué)了很多高級的課程，這是好事。但是其他同學(xué)沒有必要去效仿和攀比，每個人的背景、品味和特點(diǎn)都是不同的，效仿和攀比可能會導(dǎo)致跟不上。切忌盲目跟風(fēng)，耽誤自己的時間和精力，最后可能會因沒學(xué)好而對自己的能力喪失了信心。看到有些同學(xué)學(xué)得比較快，你也不要慌張，聞道有先后，人這一生是很長的。

第三個關(guān)鍵詞是思想，即數(shù)學(xué)中的思想。中學(xué)數(shù)學(xué)的主旋律是刷題，而刷題的目的是為了解題時解得更快更準(zhǔn)，從而在考試或競賽中得高分。但學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的時候，同學(xué)們要改變這個習(xí)慣。高等數(shù)學(xué)更重視的不是解題技巧，而是思想，至少學(xué)習(xí)的一開始更重要的是把握數(shù)學(xué)思想。

學(xué)習(xí)時不要忙著做題，而應(yīng)該在看到定義的時候，先想一想這個定義的背后到底說了什么，把抽象的數(shù)學(xué)定義背后的原理轉(zhuǎn)化為自己直覺中的東西。數(shù)學(xué)的所有內(nèi)容都來自于定義，當(dāng)你足夠熟悉定義，最終會變成你的直覺。例如，在理解數(shù)學(xué)分析里極限的定義時，你需要仔細(xì)地推敲epsilon-delta語言，直到最后熟悉了，直覺中認(rèn)同這個語言是“無限接近”的同義詞。當(dāng)然，這個轉(zhuǎn)變的過程可能需要通過做適量的習(xí)題達(dá)到。你可以嘗試在學(xué)每一門課時，例如復(fù)變、實(shí)變、抽代時問問自己：最重要的定義是什么？每一門課里重要的定義只有幾個，把這些定義以及背后的數(shù)學(xué)邏輯嚴(yán)格地記下來，最后把它轉(zhuǎn)化成你的直覺。

之后再問一下自己最重要的定理是什么？定理和定義同樣重要，很多時候定義是為定理服務(wù)的。這里不是問定理怎么證，而是問定理的陳述是什么？多想一想定理的條件是什么，結(jié)果是什么？先不要著急去看它的證明，定理的證明有時對你理解定理有意義，有時候卻沒有意義，需要你自己去分辨?？戳硕x和定理之后再看推論，推論通常會體現(xiàn)定理的重要性，用定理證明推論通常如砍瓜切菜般地愉悅。推論的證明要看看，定理的證明選擇性地看。引理最后看，因?yàn)橐硗ǔＪ菫樽C明定理服務(wù)的，所以通常是最不重要的。而且引理看起來可能是最痛苦的，有時候條件很麻煩，結(jié)果也很麻煩，整個邏輯可能會繞很久，所以放到最后看。在定理和引理之間還有命題，命題比引理稍重要一點(diǎn)，有時候會幫助你理解定義和定理。當(dāng)你把這些都理清后，就可以思考是否能把一門課的內(nèi)容都串聯(lián)起來，300頁的書能還原出幾頁的知識點(diǎn)就可以了。先把最重要的定義默寫下來，再把最重要的定理和推論都默寫下來，試圖把它連成一串，把邏輯關(guān)系用一個圖來表示。這樣，你在思想上就把握了這門課。

好的，我就分享到這里，謝謝大家。

（本文首發(fā)于北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院微信公眾號，原標(biāo)題為《導(dǎo)師代表袁新意教授在2022年英才班導(dǎo)師見面會上的發(fā)言》，澎湃科技獲授權(quán)刊發(fā)。）