·尋找非周期性平鋪方案和相關(guān)瓷磚的過程，如同打碎一個花瓶然后再復(fù)原它。不過，研究者希望花瓶碎裂后形成的是均勻的碎片，且破碎的紋理是“非周期性的”。這樣的瓷磚即使鋪滿全世界，拼接圖案也不會重復(fù)。

華裔數(shù)學(xué)家、菲爾茲獎得主、美國加州大學(xué)洛杉磯分校數(shù)學(xué)系教授陶哲軒（Terence Tao）

能否尋找到一塊這樣的瓷磚，即使用它鋪滿全世界，其拼接圖案也永不重復(fù)？

近日，數(shù)學(xué)界的“莫扎特”、華裔數(shù)學(xué)家、菲爾茲獎得主、美國加州大學(xué)洛杉磯分校數(shù)學(xué)系教授陶哲軒（Terence Tao）在個人博客上宣布，推翻了“周期性平鋪猜想”。

他們在超高維空間中找到一塊這樣的“瓷磚”。

預(yù)印本網(wǎng)站arXiv顯示，陶哲軒與合作者合著的相關(guān)論文于2022年11月29日凌晨上傳。

但實際上，陶哲軒提前了兩個多月就在其博客上宣布了上述消息；并在9月18日凌晨，他們向arXiv網(wǎng)站提交了一篇縮略的“公告”論文——announcement，全文共13頁。

而完整版論文共48頁。論文標(biāo)題是《周期性平鋪猜想的一個反例》（A counterexample to the periodic tiling conjecture）。

該論文的合著者是原美國加州大學(xué)洛杉磯分校數(shù)學(xué)系Hedrick助理教授、現(xiàn)美國普林斯頓高等研究院數(shù)學(xué)學(xué)院成員雷切爾·格林菲爾德（Rachel Greenfeld）。她是陶哲軒的博士后。

諾貝爾獎和永不重復(fù)的拼圖 

什么是周期性平鋪猜想？

設(shè)想用相同大小的正方形瓷磚，去鋪滿一個方方正正房間的地面，這似乎難度不大。人們只要像“復(fù)制黏貼”一樣，不留空隙地將一塊塊大小合適的瓷磚平鋪下去就行。在這樣的地板上，圖案的周期性顯而易見：如果你將部分圖案平移到另一個位置，就跟沒有移動過一樣。

這或許是最容易的“施工方案”之一，被稱為周期性平鋪。

周期性平鋪和非周期性平鋪產(chǎn)生的不同效果。截圖來自《Aperiodic Texture Mapping》

六年前，2016年2月18日，來自印度孟買塔塔基礎(chǔ)研究所數(shù)學(xué)院的數(shù)學(xué)家悉達(dá)多·巴塔查里亞（Siddhartha Bhattacharya）在arXiv網(wǎng)站上傳預(yù)印本論文“Periodicity and decidability of tilings of ?^2”，宣布其在二維平面上證明了“周期平鋪猜想”——通過平移，單個瓷磚在平面上只能進(jìn)行周期性平鋪，無法進(jìn)行非周期性平鋪。

數(shù)學(xué)家們推測，在二維以上更高維度上，也不存在用同一種就實現(xiàn)非周期性平鋪的瓷磚。這一假設(shè)被稱為“周期性平鋪猜想”。

換句話說，“周期性平鋪猜想”斷言，如果只能以平移的方式平鋪或填充，那么在任意維度上（二維及以上），不存在一塊能以非周期性的方式鋪滿整個表面或填充整個空間的特殊瓷磚。即使設(shè)計出來這樣一塊瓷磚，那么它也只能以周期性的方式平鋪或填滿相應(yīng)的空間。

但“周期性平鋪猜想”似乎只在二維平面上成立。

彭羅斯瓷磚樣式之一。截圖自Eureka 39(1978) 16-32

早在六十年前，1960年左右，在牛津大學(xué)任教的華裔數(shù)學(xué)家王浩在對美國新澤西州的貝爾電話實驗室進(jìn)行學(xué)術(shù)訪問期間，研究了周期性平鋪問題，并提出“王磚”（或王氏磚、王浩瓷磚，aka Wang squares）模型。

部分王浩瓷磚。來自Parcly Taxel 

四年后，一種似乎更高級的方案出現(xiàn)了：非周期性平鋪。它雖然也是很多塊瓷磚拼接在一起，密密麻麻地鋪滿整個地板，但其拼接的圖案永不重復(fù)，即使鋪滿整個世界也不重復(fù)。1964年，王浩的學(xué)生Robert Berger提出最早的非周期性平鋪方案，需要20426塊瓷磚組合。

用“王磚”進(jìn)行的一種非周期性平鋪。來自Claudio Rocchini

隨后，英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家、牛津大學(xué)數(shù)學(xué)系名譽教授羅杰·彭羅斯（Roger Penrose）把需要的瓷磚組合減少到5種，最后只用2種形狀的瓷磚組合，比如一大一小兩個菱形，就可以在二維平面上實現(xiàn)非周期性平鋪。這種瓷磚被稱為彭羅斯瓷磚。它成為數(shù)學(xué)藝術(shù)的象征之一，被鋪在牛津大學(xué)數(shù)學(xué)系等知名大學(xué)相關(guān)建筑物的地板上。相關(guān)平鋪樣式被稱為彭羅斯平鋪，或彭羅斯鑲嵌、彭羅斯密鋪、彭羅斯拼圖、彭羅斯幾何拼圖等。

平面上的非周期圖案具有一個奇特的性質(zhì)，排布位置的信息似乎能夠通過某種方式跨過很大距離進(jìn)行傳遞，防止數(shù)百（甚至數(shù)千、數(shù)百萬）塊之外的瓷磚出現(xiàn)某種排列類型。阿肯色大學(xué)助理教授埃蒙德·哈里斯（Edmund Harriss）的博士論文主題就是彭羅斯貼磚。他說：“局部約束鬼使神差地拓展為全局約束?！?/p>

而彭羅斯瓷磚不只在數(shù)學(xué)界很有名，在建筑裝潢領(lǐng)域甚至材料科學(xué)領(lǐng)域也成功圈粉，給人們帶來新的啟示。

彭羅斯瓷磚或拼圖的樣式之一。來自Taktaal 

1982年，在美國正進(jìn)行學(xué)術(shù)休假的以色列材料科學(xué)家丹·謝特曼（Dan Shechtman），在實驗室里觀察到合金的奇特衍射圖樣，不符合此前人們關(guān)于晶體的印象，缺乏標(biāo)準(zhǔn)的對稱。它們原子排列的樣子，跟彭羅斯地磚拼接的圖案一樣，是非重復(fù)、非周期性的。他后來稱之為“準(zhǔn)晶體”（quasicrystal）。

丹·謝特曼拍攝到的電子衍射圖片。截圖自Phys. Rev. Lett. Vol. 53(20),1984

丹·謝特曼的論文和他的發(fā)現(xiàn)引起了極大的爭議和攻擊。直到20多年后，2011年，他因“發(fā)現(xiàn)準(zhǔn)晶體”，被授予諾貝爾化學(xué)獎。

準(zhǔn)晶體的電子衍射圖片。來自nobelprize.org

此外，彭羅斯也是諾貝爾獎得主之一。

1965年1月18日，彭羅斯在《物理評論快報》（Physical Review Letters）發(fā)表論文，闡述了彭羅斯奇點定理。斯蒂芬·霍金（Stephen Hawking）與彭羅斯一起研究奇點后，以彭羅斯定理顛覆了有關(guān)宇宙起源的理論。奇點后來被人們熟知，稱為“黑洞”。

2020年，89歲的彭羅斯被授予諾貝爾物理學(xué)獎，表彰他“發(fā)現(xiàn)黑洞的形成是對廣義相對論的有力預(yù)測”。他獨享一半獎金，與“在銀河系的中心發(fā)現(xiàn)了一個超大質(zhì)量致密天體”的德國科學(xué)家賴因哈德·根策爾（Reinhard Genzel）和美國科學(xué)家安德烈婭·蓋茲（Andrea Ghez）分享了2020年的諾貝爾物理學(xué)獎。

但問題是，一直沒人用一塊瓷磚完成非周期平鋪“游戲”。直到最近，陶哲軒和合作者在超高維空間找到一塊這樣奇特的“瓷磚”。

用數(shù)獨、俄羅斯方塊游戲?qū)ふ乙粋€反例

尋找非周期性平鋪方案和相關(guān)瓷磚的過程，如同打碎一個花瓶然后再復(fù)原它。不過，研究者希望花瓶碎裂后形成的是均勻的碎片，且破碎的紋理是“非周期性的”。

從在二維平面“拼圖”到更高維空間里“堆積木”，陶哲軒希望找到一塊能夠?qū)崿F(xiàn)非周期性地堆疊的單一“瓷磚”。

立方形密鋪。來自Tomruen 

在解釋其最新證明策略和方法的博客文章中，陶哲軒提到數(shù)獨和俄羅斯方塊游戲，還有電腦編程。

在印度數(shù)學(xué)家悉達(dá)多·巴塔查里亞證明“周期平鋪猜想”在二維平面上成立三年后，2019年，格林菲爾德以博士后身份來到加州大學(xué)洛杉磯分校。隨后，她和陶哲軒用不同于悉達(dá)多·巴塔查里亞的另一種方法，再次證明了二維平面中的“周期平鋪猜想”。但是，當(dāng)他們想推進(jìn)到在三維空間中也證明這一猜想時，碰壁了。

陶哲軒說，無法在更高維度上證明這個猜想成立也許是有原因的，應(yīng)該開始尋找反例。

2021年8月，他們第一次接近目標(biāo)：他們在超高維空間找到了兩塊可以實現(xiàn)非周期性填充的瓷磚，但不是一塊。

2021年8月17日，格林菲爾德在arXiv網(wǎng)站上傳她和陶哲軒共同署名的論文，標(biāo)題是“Undecidable translational tilings with only two tiles, or one nonabelian tile”。六天后，她上傳了更新版。

“2非常接近了，但還不夠?！?格林菲爾德說。

像“俄羅斯方塊游戲”一樣消行。截圖自陶哲軒2022年9月19日的博客文章

2022年9月19日，陶哲軒在其博客文章中表示，“格林菲爾德和我剛剛將我們的公告——‘周期性平鋪猜想的反例’上傳到 arXiv。這是我們目前正在撰寫（并希望在幾周內(nèi)發(fā)布）的一篇更長的論文的公告。其中，我們推翻了 Grünbaum-Shephard 和 Lagarias-Wang 的周期性平鋪猜想?！?/p>

在上述博客文章中，陶哲軒寫道，他們創(chuàng)建了一種“平鋪語言”（“tiling language”），使用平鋪方程組來描述非周期函數(shù)。“這個證明，讓人強烈地聯(lián)想到解決數(shù)獨謎題所需的推理類型，因此，我們在論點中采用了一些類似數(shù)獨的術(shù)語來提供直覺和視覺效果。一個關(guān)鍵步驟是，對拼圖進(jìn)行剪切變換……然后執(zhí)行消除常量行的‘俄羅斯方塊’移動以得出次級數(shù)獨謎題，然后依次分析該謎題。正是這個過程的迭代最終生成了非周期性p-adic結(jié)構(gòu)?！?/p>

在其兩個月后、11月29日的博客文章中，陶哲軒寫道：“格林菲爾德和我剛剛將論文上傳到 arXiv。這是我?guī)讉€月前在這個博客上公布的結(jié)果的完整版本……這篇論文完成的時間比預(yù)期的要長一些，這是由于我們在發(fā)布公告時沒有意識到的一個技術(shù)問題需要個解決方法?！?/p>

陶哲軒進(jìn)一步解釋說，如公告中所述，最初的策略是構(gòu)建一種“平鋪語言”——一種能夠用來編碼“P進(jìn)數(shù)數(shù)獨謎題”（P-adic Sudoku puzzle）的語言；然后證明如果P是一個足夠大的素數(shù)，那么后一種類型的謎題只有非周期性的解決方案。“事實證明，該策略的后半部分成功了。”“在編程過程中，我們還發(fā)現(xiàn)，一旦引入‘可表達(dá)屬性’和‘弱表達(dá)屬性’兩個新定義，證明的編碼部分將變得更加模塊化和概念化?！?/p>

陶哲軒和格林菲爾德將他們的方程式系統(tǒng)看作一個計算機程序：每一行代碼或方程式都是一個命令，這些命令組合起來可以生成一個實現(xiàn)特定目標(biāo)的程序。

最終，他們在一個非常高維度的空間中，尚未被詳細(xì)計算，但大約2^100^100維里，找到一塊目標(biāo)“瓷磚”——一塊非常復(fù)雜、彎彎曲曲、充滿孔洞的“瓷磚”。

此外，陶哲軒表示，使用他們最新創(chuàng)造的“語言”應(yīng)該能創(chuàng)造一個無法判定的謎題。“（比如）可能存在一些瓷磚，我們永遠(yuǎn)也無法證明，它是否能鋪滿它所在的空間。”

既無法證明也無法反駁，數(shù)學(xué)中充滿了這樣的“不可判定”（undecidable）的陳述。為了證明一個陳述是不可判定的，數(shù)學(xué)家通常證明它等價于另一個已知不可判定的問題。所以，如果平鋪問題被證明是不可判定的，它將可以作為新工具，證明更多其他問題的不可判定性。

格林菲爾德的簡歷顯示，其研究課題“平移平鋪和正交系統(tǒng)指數(shù)”（translational tiling and orthogonal systems exponentials）獲得了美國國家科學(xué)基金會（NSF）11.7056萬的資助，編號是DMS-2242871，資助期限是2022年到2025年。

參考資料：

1.https://www.quantamagazine.org/nasty-geometry-breaks-decades-old-tiling-conjecture-20221215/#newsletter

2.https://nautil.us/impossible-cookware-and-other-triumphs-of-the-penrose-tile-rp-234895/?_sp=1048d065-5002-434f-85c5-fa868cbccae2.1671370700212

3.https://huanqiukexue.com/a/qianyan/cailiao__huaxue/2017/0527/27301.html

4.https://terrytao.wordpress.com/2022/09/19/a-counterexample-to-the-periodic-tiling-conjecture/

5.https://arxiv.org/abs/1602.05738