紐約街頭。視覺中國 資料圖

在城市和區(qū)域科學中，齊普夫法則（Zipf law）是一個簡單而又復雜的存在。說它簡單，是因為它的表現(xiàn)形式簡單、直觀、普適；說它復雜，是因為有關齊普夫法則的機理性解釋一直爭論不休，甚至到目前為止也沒有十分完美的解釋。各國的現(xiàn)實情況與齊普夫法則的對應性和適應性也被廣泛討論。 

一、什么是齊普夫法則?

通俗來說，一個國家人口最多的城市人口數(shù)量通常是第二多城市人口數(shù)的2倍，是第三多城市人口數(shù)的3倍，是第四多城市人口數(shù)的4倍……以此類推。簡言之，人口規(guī)模位次排名首位城市人口數(shù)量是位次排名第n位城市的人口規(guī)模的n倍，這里面涉及到兩個量，排名的位次和人口的規(guī)模，所以也稱為位次-規(guī)模法則。齊普夫法則得名于美國的語言學家G. K. Zipf，在他的1949年的一本書《人類行為與最小努力原則》中，提出了一個觀點，人們總是很懶，做一件事總是希望付出最小努力，比如想表達一個觀點，總是希望用最少的語言和詞匯，這樣的一種后果就是少數(shù)幾個單詞大量重復，而不得已才會用一些復雜的詞匯，所以一些詞匯出現(xiàn)的次數(shù)就相當少。他統(tǒng)計了書中單詞，發(fā)現(xiàn)了上述與城市人口位次-規(guī)模差不多的結論，一本書中出現(xiàn)次數(shù)最多的單詞的次數(shù)是出現(xiàn)第二多單詞的次數(shù)的2倍，是第三多單詞的3倍……后人為了紀念他提出的“最小努力”原則就把該現(xiàn)象稱為“齊普夫法則”（Zipf’s law）。其實，城市領域這種現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)要比齊普夫單詞現(xiàn)象要早，城市的人口位次與規(guī)模之間的關系第一次被明確記錄是1913年在德國物理學家奧爾巴赫（Felix Auerbach)的文章《人口集中定律》（德文名稱 Das Gesetz der Bev?lkerungskonzentration）中，他第一次系統(tǒng)分析了1910年德國94個城市規(guī)模和位序之間的關系，發(fā)現(xiàn)這些城市的規(guī)模和位次的乘積是一個常數(shù)。

如果用數(shù)學符合和圖形來表達齊普夫法則就更有意思了。數(shù)學上假設排名為n的城市人口為y，那么數(shù)學表達成 n=A*y^(B)（A和B都是參數(shù)），如果是完美符合齊普夫法則，那么B=-1，這時候n*y=A，就是上面奧爾巴赫發(fā)現(xiàn)的規(guī)模和位次的乘積是一個常數(shù)。在圖形上，如果把位次n作為縱坐標，人口規(guī)模y作為橫坐標，放在雙對數(shù)坐標系中，會得到一條完美的斜率為-1的直線（如下圖那樣），之所以要放在雙對數(shù)坐標系中，是因為n=A*y^(B)經(jīng)過雙對數(shù)坐標系變換就是一個我們很熟悉的線性方程。其實，雙對數(shù)坐標系起到一種“降維”的作用，現(xiàn)實世界的很多復雜關系通常不是線性的，而是高維非線性的，人們?yōu)榱颂幚矸奖悖ǔ２捎脤?shù)坐標使得高維的非線性回歸到低維的線性過程。

圖1  一個完美的齊普夫法則線    資料來源：筆者繪制

二、是什么造就了齊普夫法則？

對齊普夫法則的機理性解釋或者動力學原因闡述一直飽受關注和爭論。一方面，它背后的機理也許直接關系到“財富為什么總是不均衡分布”“為什么上市公司少數(shù)頭部企業(yè)集中了大部分利潤”等一系列有關“不平衡”和馬太效應的現(xiàn)象。另一方面，不同階段對于齊普夫法則的認識通常會不一樣。比如，早期齊普夫本人在那本書中提出的人類“最小努力”原則算是一個解釋。這里筆者介紹幾個城市科學領域比較知名的解釋。第一種解釋是由卡耐基梅隆大學的經(jīng)濟學家，同時也是1978年諾貝爾經(jīng)濟學獎獲得者的哈伯特·西蒙（Herbert. A. Simon）在1955年提出的隨機增長（Random growth）理論，1999年哈佛大學教授Xavier Gabaix在此基礎上進一步證明和完善。他們認為不管這些城市一開始的規(guī)模如何，只要他們的發(fā)展按照同一種模式進行隨機增長，最終必然會導致這些城市之間人口規(guī)模符合齊普夫法則，換言之，大城市的增長速度未必比小城市慢。當然，大城市的增長速度也未必比小城市快，他們的快慢完全是一種隨機性的，經(jīng)過長時間隨機增長之后，隨機效應逐步累積，城市之間的分化就產(chǎn)生了，便出現(xiàn)了超大型城市，大型城市等完整的等級體系。他們還解釋了為什么有的國家內城市實證結果完美符合齊普夫法則，而有的卻不是，主要差別在于有沒有新的城市產(chǎn)生，如果沒有新城市產(chǎn)生，就比較符合齊普夫法則。如果人口增長過程中增量人口產(chǎn)生了新的城市就會偏離齊普夫法則。

當然，該理論也并非無懈可擊，首先他沒有考慮到人口流動問題，城市人口的增量除了來自自然增長部分還有人口的凈流入部分，如果說大城市和小城市的人口自然增長率滿足同一種分布特征尚且可以理解，但是人口的凈流入該如何影響城市人口分布呢？2020年兩位法國學者Verbavatz和Barthelemy在《自然》（Nature）雜志上發(fā)文稱，齊普夫法則主要是由大規(guī)模的人口流動主導的，他們就按照上述的人口增長動力學考慮了凈流入的人口，發(fā)現(xiàn)人口流動對城市人口增長的影響更大。其實，早在1998年，瑞士弗里堡大學的Matteo Marsili和張翼成教授就發(fā)現(xiàn)人口個體之間的社會交互是產(chǎn)生城市齊普夫法則的重要原因。

2021年德國、意大利和巴西的幾位學者提出了一個非常有意思的最大多樣性理論（Maximal diversity），他們認為，城市人口之所以這么分布是取得系統(tǒng)多樣性最佳的一種選擇。舉個例子，假設現(xiàn)在有10個人，分布在3個城市，會有幾種分配方法？比如3+3+4、4+4+2、1+2+7、2+3+5……哪一種分配方法更好呢？他們認為3+3+4和4+4+2的分配方案里面只出現(xiàn)了2個不同的數(shù)字，多樣性為2，而1+2+7和2+3+5有3個不同的數(shù)字，多樣性為3。因此，后兩者的分配多樣性要優(yōu)于前兩者的分配方案。因此，他們通過模仿物理學中粒子配分方法，采用數(shù)學模擬發(fā)現(xiàn)國家總人口按照齊普夫法則的分配方法分配到各城市能夠讓系統(tǒng)多樣性取得最大。

這些理論從不同的角度分析了齊普夫法則產(chǎn)生的機制，豐富和發(fā)展了相關的理論，但每種理論也有各自的局限性和不足，這也從側面印證了齊普夫法則看似簡單實則暗藏玄機。 

三、中國城市的規(guī)模和位序符合齊普夫法則嗎？

自從奧爾巴赫1913年發(fā)現(xiàn)德國城市的齊普夫法則以來，有關各國的城市位序和規(guī)模之間關系的實證研究就汗牛充棟。筆者在Web of Science （一個英文學術文章檢索工具）中輸入Zipf’s law 發(fā)現(xiàn)從1991年到2021年研究熱度一路走高，2021年達到高峰。

圖2  在Web of Science 中檢索“Zipf’s law”歷年發(fā)表的文章數(shù)量。資料來源：Web of Science

較早之前，有學者指出行政體系主導的城市如蘇聯(lián)和中國的城市規(guī)模不太服從齊普夫法則，但從1995年以來中國地級市及以上的城市人口規(guī)模和位序關系看，中國城市還是基本符合齊普夫法則的，比如有學者分析了1995-2015年每隔2-3年中國城市人口規(guī)模分布，發(fā)現(xiàn)基本吻合齊普夫法則，但是相比較美國、印度等城市吻合程度略低一點。為此，筆者用2020年第7次人口普查的數(shù)據(jù)做了驗證。很明顯，中國的城市分布“部分”吻合齊普夫法則，吻合的部分主要是人口規(guī)模大于500萬以上的城市，或者排名在210名之前的，但是即使這部分吻合，其斜率參數(shù)（即B）與完美的齊普夫法則預計的-1也有明顯偏頗。頭部城市如人口最多的重慶3205萬人，是第二位上海2487萬和北京2189萬的1倍多一點，與齊普夫法則預測的并不十分相符。反觀同時期美國的城市則非常符合齊普夫法則，連斜率參數(shù)也與齊普夫法則預計的-1相差無幾，尤其是頭部城市，比如美國人口最多的紐約人口823萬，正好是第二位洛杉磯人口398萬的2倍左右，是第3位芝加哥267萬的3倍左右。

圖3  中國第七次人口普查的地級市以上城市和美國2020年城市的人口位序-規(guī)模關系
資料來源： 筆者根據(jù)第七次人口普查數(shù)據(jù)整理，美國數(shù)據(jù)來自美國統(tǒng)計局。

最后，筆者認為齊普夫法則在一定程度上能夠解釋城市之間規(guī)模的特征，但不同的國家情況也會對該法則的普適性形成一定的挑戰(zhàn)。除了城市人口數(shù)量的齊普夫法則被發(fā)現(xiàn)，城市領域的很多變量都是按照齊普夫法則進行分布，這又將涉及到城市科學中的標度律問題。

（作者戴躍華系上海發(fā)展戰(zhàn)略研究所博士。感謝上海財經(jīng)大學張潔同學對本文部分數(shù)據(jù)的整理。）

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“解釋城市”專欄由上海發(fā)展戰(zhàn)略研究所戴躍華博士主持，關注城市科學發(fā)展的前沿趨勢，解釋城市科學以及城市中人類行為動力學的一般特征和規(guī)律，探究利用前沿城市科學理論優(yōu)化城市治理的路徑和方法。